個人的にが好きなので、語ったり性質をメモしていこうと思います。書き加えたいときに書き加えていきます。
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とは
は、exp(x)とも表記されることもある、ネイピア数eのx乗を表す関数です。
ネイピア数については下の記事などを参考にどうぞ。
好きな特性
そりゃもう、
です。要するに、
の解になりうるという素敵さ。
なんというか、それがとてもたまりません。自分でも理由は良くわからないのですが。
テイラー展開
さて、を活用する方法は色々ありますが、そのうち「世界一美しい数式」とかそれ関連で絡んでくるのがテイラー展開です。
テイラー展開とは、関数を近似する方法です。近似といっても、ほぼイコール扱いの公式になりますが、まあその辺は無限とか収束とか、絡んでくるかと思いますので、ここでは省略いたします。
なおこれで使われるテイラーの定理の証明はこちら(こういうテクニカルな証明も好きです。どうやって思いつくのか…。):
で、そのテイラー展開の公式が
となりまして、
とおくことで、
となります(ただし、0 <
などをどうぞ。
で、これの余剰項
となるとき、
というふうに表すことが出来ます。
で、ここでa=0としてテイラー展開を行います。すると、
これはf(x)の0を中心としたテイラー展開になるのですが、これをマクローリン展開と呼びます。
で、これについて、
となります。(cos(x)の微分は-sin(x)、sin(x)の微分はcos(x)。これにより、sin(x)とcos(x)のテイラー展開では少しややこしい式になる。この計算においては、sin(0)=0も利用されている。)
んで、これに関して、f(x)=e^xの数式において、x=i\thetaとおき、これをe^xのテイラー展開の式に代入して計算。すると、
で、この式、なんとなくどうにか出来そうに思う方もいるかもしれません。
そこを分かりやすく、上の式を変形してみると、つまりは、
よって、
となります。これが、オイラーの公式です。
さてここで、上でも書いた世界一美しい数式を書いてみますと、
です。
つまり、オイラーの公式に関して、
cos(π)=-1でsin(π)=0なので、
こういう公式を色々使ったトリック的な性質も大好きです。
なお、ここから、cos(x)とsin(x)に対する
また、オイラーの公式の関係から、
という式を導くことが出来、この点の計算を楽にも出来ます。一寸分かりづらいですが、これをうまく使えば、ある場合での複素数の積の計算などが、楽になるのです。
つまり適当な数bで複素数をくくり、
a=0におけるテイラー展開からの、計算について、参考にしたURLは以下。もしかしたら記述漏れがあるかもです。すいません:
その他コメントなど
のこのあたりの話は好きです。字の形も綺麗ですし、本当に興味深い関数だと思います。あとlatexの形式で書いた数式を表示する機能を初使用しましたが、色々といまいちなので、その点修正できたらしたいです。