e^xに関するメモ、テイラー展開

個人的に $e^x$ が好きなので、語ったり性質をメモしていこうと思います。書き加えたいときに書き加えていきます。

$e^x$ とは

　 $e^x$ は、exp(x)とも表記されることもある、ネイピア数eのx乗を表す関数です。
　ネイピア数については下の記事などを参考にどうぞ。

ネイピア数 e をいかにして自然に導入するか - tsujimotterの下書きノート

http://tsujimotter-sub.hatenablog.com/entry/2015/08/10/015436

ネイピア数。自然対数の底。自然対数という割に、ぜんぜん自然じゃない、と私は思っていた。どの説明を聞いてもどうにもしっくりこない。つい先日、この数を人に説明する機会があったのだが、どうにも歯切れの悪い説明になってしまった。この数を、どうにかして自然...

好きな特性

　そりゃもう、
$(e^x)' = e^x$
　です。要するに、
$\frac{dx}{dt} = x$
　の解になりうるという素敵さ。
　なんというか、それがとてもたまりません。自分でも理由は良くわからないのですが。

テイラー展開

　さて、 $e^x$ を活用する方法は色々ありますが、そのうち「世界一美しい数式」とかそれ関連で絡んでくるのがテイラー展開です。
　テイラー展開とは、関数を近似する方法です。近似といっても、ほぼイコール扱いの公式になりますが、まあその辺は無限とか収束とか、絡んでくるかと思いますので、ここでは省略いたします。
　なおこれで使われるテイラーの定理の証明はこちら（こういうテクニカルな証明も好きです。どうやって思いつくのか…。）:

mathtrain.jp

テイラーの定理の例と証明 | 高校数学の美しい物語

http://mathtrain.jp/taylortheorem

テイラー展開の背後にあるテイラーの定理について。平均値の定理の拡張であること，およびロルの定理を用いた証明を解説します。

　で、そのテイラー展開の公式が
$f(b) = f(a) + f'(a)(b-a)+\frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+...$
$...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)+R_n$
$R_n=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}$
　となりまして、
$b=x,a=0$
　とおくことで、
$f(x) = f(0) + f'(0)(x)+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)+R_n$
$Rn = \frac{f^{(n+1)}(a+\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$
　となります(ただし、0 < $\theta$ < 1。詳しくは:

mathsci.doshisha.ac.jp

untitled

http://mathsci.doshisha.ac.jp/mathscilabo/kouza/uchiyama/index.html

　などをどうぞ。
　で、これの余剰項 $Rn$ について、
$R_n \to 0 (n \to \infty)$
　となるとき、
$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
$=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+...$
　というふうに表すことが出来ます。
で、ここでa=0としてテイラー展開を行います。すると、
$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$
$=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+...$
これはf(x)の0を中心としたテイラー展開になるのですが、これをマクローリン展開と呼びます。
　で、これについて、 $e^x$ 、sinx、cosxについてあてはめると、
$e^x=\sum^\infty_{k=0}\frac{x^k}{k!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$
$\sin x = \sum^\infty_{k=0}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\frac{x}{1!}-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...$
$\cos x = \sum^\infty_{k=0}(-1)^k\frac{x^{2k}}{2k!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+...$
　となります。（cos(x)の微分は-sin(x)、sin(x)の微分はcos(x)。これにより、sin(x)とcos(x)のテイラー展開では少しややこしい式になる。この計算においては、sin(0)=0も利用されている。）
　んで、これに関して、f(x)=e^xの数式において、x=i\thetaとおき、これをe^xのテイラー展開の式に代入して計算。すると、
$e^{ix}=\sum^\infty_{k=0}\frac{(ix)^k}{k!}\\ =1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+...\\ =1+i\frac{x}{1!}-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}+...\\$
　で、この式、なんとなくどうにか出来そうに思う方もいるかもしれません。
　そこを分かりやすく、上の式を変形してみると、つまりは、
$e^{ix}=\sum^\infty_{k=0}(-1)^k\frac{x^{2k}}{2k!}+i\sum^\infty_{k=0}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
　よって、
$e^{ix}=\cos x + i \sin x$
　となります。これが、オイラーの公式です。
　さてここで、上でも書いた世界一美しい数式を書いてみますと、
$e^{i\pi}+1=0$
　です。
　つまり、オイラーの公式に関して、 $\theta=\pi$ を当てはめた形です。
　cos(π)=-1でsin(π)=0なので、 $e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta=-1$ となり、これを変形すれば「世界一美しい数式」というわけですね。
　こういう公式を色々使ったトリック的な性質も大好きです。
　なお、ここから、cos(x)とsin(x)に対する $e^x$ の関係に変形も可能です。
$\cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
$\sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
　また、オイラーの公式の関係から、
$(\cos x + i \sin x)^{a}=e^{i a\pi}=\cos {a\pi}+i \sin{a\pi}$
　という式を導くことが出来、この点の計算を楽にも出来ます。一寸分かりづらいですが、これをうまく使えば、ある場合での複素数の積の計算などが、楽になるのです。
　つまり適当な数bで複素数をくくり、 $b(\cos c + i \sin c)$ とおけるような形（具体的にはcos(c)の2乗＋sin(c)の2乗が1になるようにする）にしておけば、上の式を使ってa乗の計算を簡易にしたり、その逆で、累乗の計算のほうが簡単な角度cに色々おとしこんだりもできる、というわけです。

　a=0におけるテイラー展開からの、計算について、参考にしたURLは以下。もしかしたら記述漏れがあるかもです。すいません: