e^xに関するメモ、テイラー展開

個人的にe^xが好きなので、語ったり性質をメモしていこうと思います。書き加えたいときに書き加えていきます。

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e^xとは

 e^xは、exp(x)とも表記されることもある、ネイピア数eのx乗を表す関数です。
 ネイピア数については下の記事などを参考にどうぞ。

好きな特性

 そりゃもう、
(e^x)' = e^x
 です。要するに、
\frac{dx}{dt} = x
 の解になりうるという素敵さ。
 なんというか、それがとてもたまりません。自分でも理由は良くわからないのですが。

テイラー展開

 さて、e^xを活用する方法は色々ありますが、そのうち「世界一美しい数式」とかそれ関連で絡んでくるのがテイラー展開です。
 テイラー展開とは、関数を近似する方法です。近似といっても、ほぼイコール扱いの公式になりますが、まあその辺は無限とか収束とか、絡んでくるかと思いますので、ここでは省略いたします。
 なおこれで使われるテイラーの定理の証明はこちら(こういうテクニカルな証明も好きです。どうやって思いつくのか…。):

 で、そのテイラー展開の公式が
f(b) = f(a) + f'(a)(b-a)+\frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2+...
...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)+R_n
R_n=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}
 となりまして、
b=x,a=0
 とおくことで、
f(x) = f(0) + f'(0)(x)+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)+R_n
Rn = \frac{f^{(n+1)}(a+\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}
 となります(ただし、0 < \theta < 1。詳しくは:
 などをどうぞ。
 で、これの余剰項Rnについて、
R_n \to 0 (n \to \infty)
 となるとき、
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k
=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+...
 というふうに表すことが出来ます。
で、ここでa=0としてテイラー展開を行います。すると、
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k
=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+...
これはf(x)の0を中心としたテイラー展開になるのですが、これをマクローリン展開と呼びます。
 で、これについて、e^x、sinx、cosxについてあてはめると、
e^x=\sum^\infty_{k=0}\frac{x^k}{k!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...
\sin x = \sum^\infty_{k=0}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\frac{x}{1!}-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...
\cos x = \sum^\infty_{k=0}(-1)^k\frac{x^{2k}}{2k!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+...
 となります。(cos(x)の微分は-sin(x)、sin(x)の微分はcos(x)。これにより、sin(x)とcos(x)のテイラー展開では少しややこしい式になる。この計算においては、sin(0)=0も利用されている。)
 んで、これに関して、f(x)=e^xの数式において、x=i\thetaとおき、これをe^xのテイラー展開の式に代入して計算。すると、
e^{ix}=\sum^\infty_{k=0}\frac{(ix)^k}{k!}\\      =1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+...\\      =1+i\frac{x}{1!}-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}+...\\
 で、この式、なんとなくどうにか出来そうに思う方もいるかもしれません。
 そこを分かりやすく、上の式を変形してみると、つまりは、
e^{ix}=\sum^\infty_{k=0}(-1)^k\frac{x^{2k}}{2k!}+i\sum^\infty_{k=0}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
 よって、
e^{ix}=\cos x + i \sin x
 となります。これが、オイラーの公式です。
 さてここで、上でも書いた世界一美しい数式を書いてみますと、
e^{i\pi}+1=0
 です。
 つまり、オイラーの公式に関して、\theta=\piを当てはめた形です。
 cos(π)=-1でsin(π)=0なので、e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta=-1となり、これを変形すれば「世界一美しい数式」というわけですね。
 こういう公式を色々使ったトリック的な性質も大好きです。
 なお、ここから、cos(x)とsin(x)に対するe^xの関係に変形も可能です。
\cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
\sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
 また、オイラーの公式の関係から、
(\cos x + i \sin x)^{a}=e^{i a\pi}=\cos {a\pi}+i \sin{a\pi}
 という式を導くことが出来、この点の計算を楽にも出来ます。一寸分かりづらいですが、これをうまく使えば、ある場合での複素数の積の計算などが、楽になるのです。
 つまり適当な数bで複素数をくくり、b(\cos c + i \sin c)とおけるような形(具体的にはcos(c)の2乗+sin(c)の2乗が1になるようにする)にしておけば、上の式を使ってa乗の計算を簡易にしたり、その逆で、累乗の計算のほうが簡単な角度cに色々おとしこんだりもできる、というわけです。

 a=0におけるテイラー展開からの、計算について、参考にしたURLは以下。もしかしたら記述漏れがあるかもです。すいません:

その他コメントなど

 e^xのこのあたりの話は好きです。字の形も綺麗ですし、本当に興味深い関数だと思います。あとlatexの形式で書いた数式を表示する機能を初使用しましたが、色々といまいちなので、その点修正できたらしたいです。

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